群

二元运算

二元运算就是一种规则：$x\times y$ 它是针对集合的概念，脱离集合不能谈二元运算 基本要求是两个属于该集合的元素经过二元运算后，得数仍然属于该集合： 也就是：$S$为集合，函数$f:S\times S\to S$ 我们称这种性质为封闭性

比如除法在自然数集上不是二元运算，因为它不满足封闭性，但它在去除0的实数集上封闭，是二元运算。

还有一个思想：对于一个二元运算，结合律和交换律都不一定成立，但结合律是比交换律更普遍的规律

幺半群

注意，*先在开始不一定是乘法，而代表两个数之间的二元运算 先介绍两个概念

• 结合律：$x\ast (y\ast z)=(x\ast y)\ast z$
• 单位元：e是单位元，$e\in S,\mathrm{\forall }x\in S,x\ast e=e\ast x=x$,也就是左乘和右乘单位元，结果不变

那么我们就可以定义幺半群：

$$\begin{array}{rl}& \text{我们说}(S,\ast )\text{是一个幺半群，当该二元运算满足结合律，且有单位元}\\ & \mathrm{\forall }x,y,z\in S,x\ast (y\ast z)=(x\ast y)\ast z\\ & \mathrm{\exists }e,\mathrm{\forall }x\in S,e\ast x=x\ast e=x\end{array}$$

以后类似群这种概念，我们使用形如$(S,\ast )$ 这种形式表达，S代表一个集合，*代表二元运算 因为幺半群，半群，群的结构都是由集合和二元运算就确定的。

比如$(M,\ast )$，其中M是所有3阶矩阵构成的集合，*是矩阵乘法，这就是一个不满足交换律的幺半群，且单位元是$[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}]$

单位元的唯一性

对于一个幺半群，单位元是唯一的。证明：

$$\begin{array}{rl}& \text{若存在多个单位元，假设 }e,e^{\prime }\text{ 都是单位元}\\ & \because e\text{ 是单位元},e\ast e^{\prime }=e^{\prime }\\ & \because e^{\prime }\text{ 是单位元},e\ast e^{\prime }=e\\ & \therefore e=e^{\prime }\end{array}$$