叉乘

两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ , 则向量 $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ 记为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的叉乘

\begin{aligned} & \vec{a} = \\ & \left[ \\ & \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \\ & \right] \\ & \vec{b} = \\ & \left[ \\ & \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_n \end{array} \\ & \right] \end{aligned}

则

\begin{aligned} & \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{matrix} \\ & \right| \end{aligned}

显然两个向量的叉乘垂直于这两个向量所在的平面，模长为两个向量构成的平行四边形的面积：

$ | \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| |\vec{b}| sin<\vec a, \vec b>$

常用公式

公式总结

设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为任意向量， $λ$ 为任意标量，则有：

反交换律（反对称性）

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

分配律

\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}

(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}

数乘结合律

(λ \vec{a}) \times \vec{b} = λ (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (λ \vec{b})

自叉乘为零

\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}

平行判定

\vec{a} ∥ \vec{b} ⟺ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}

混合积（标量三重积）

\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

其几何意义为以 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为棱的平行六面体的体积。

三重叉积（BAC-CAB 法则）

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b})

(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})

拉格朗日恒等式（四重积）

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d}) (\vec{b} \cdot \vec{c})

叉乘模长

| \vec{a} \times \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} - (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}

推导过程

1. 反交换律

由行列式性质：交换两行，行列式变号。叉乘可写作

\begin{aligned} & \vec a \times \vec b = \left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \\ & \right|, \\ & \qquad \\ & \vec b \times \vec a = \left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix} \\ & \right| \end{aligned}

后者交换了第二、三行，故

\begin{aligned} & \vec b \times \vec a = -\left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \\ & \right| = -\vec a \times \vec b \end{aligned}

2. 分配律

设 $\vec{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$ ，则 $\vec{b} + \vec{c} = (b_{1} + c_{1}, b_{2} + c_{2}, b_{3} + c_{3})$ 。由行列式对行的线性性：

\begin{aligned} & \vec a \times (\vec b + \vec c) = \left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 + c_1 & b_2 + c_2 & b_3 + c_3 \end{matrix} \\ & \right| \\ & = \left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \\ & \right| \\ & + \left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \\ & \right| \\ & = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c \end{aligned}

另一条分配律由反交换律即可推出。

3. 数乘结合律

\begin{aligned} & (\lambda \vec a) \times \vec b = \left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \lambda a_1 & \lambda a_2 & \lambda a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \\ & \right| \\ & = \lambda \left| \\ & \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \\ & \right| \\ & = \lambda (\vec a \times \vec b) \end{aligned}

同理可证 $\vec{a} \times (λ \vec{b}) = λ (\vec{a} \times \vec{b})$ 。

4. 自叉乘为零

当 $\vec{a} = \vec{b}$ 时，行列式中有两行相同，值为零；或由 $\vec{a} \times \vec{a} = - \vec{a} \times \vec{a}$ 得 $2 (\vec{a} \times \vec{a}) = \vec{0}$ ，故 $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ 。

5. 平行判定

由 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩$ ，当两向量平行时夹角为 $0$ 或 $π$ ， $\sin$ 值为 $0$ ，故 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ ；反之若叉乘为零，则 $| \vec{a} |$ 、 $| \vec{b} |$ 至少一个为零或 $\sin = 0$ ，即两向量平行（含共线）。

6. 混合积

\begin{aligned} & \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \left| \\ & \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \\ & \right| \end{aligned}

由行列式的循环性质，轮换三行（偶数次交换）值不变：

\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

7. 三重叉积（BAC-CAB 法则）

先计算 $\vec{i} \times (\vec{i} \times \vec{a})$ 等分量。用分量法：

\begin{aligned} \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \\ [\begin{array}{c} a_{2} (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) - a_{3} (b_{3} c_{1} - b_{1} c_{3}) \\ a_{3} (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2}) - a_{1} (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) \\ a_{1} (b_{3} c_{1} - b_{1} c_{3}) - a_{2} (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2}) \end{array}] \end{aligned}

整理每个分量，例如第一分量：

\begin{aligned} a_{2} b_{1} c_{2} - a_{2} b_{2} c_{1} - a_{3} b_{3} c_{1} + a_{3} b_{1} c_{3} \\ = b_{1} (a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) - c_{1} (a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) \end{aligned}

配凑 $a_{1} c_{1}$ 与 $a_{1} b_{1}$ 项：

\begin{aligned} = b_{1} (a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3}) - c_{1} (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) \\ = b_{1} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - c_{1} (\vec{a} \cdot \vec{b}) \end{aligned}

即第一分量为 $[\vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b})]_{1}$ 。其余分量同理，故

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b})

8. 拉格朗日恒等式

由混合积的交换性质：

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{c} \cdot (\vec{d} \times (\vec{a} \times \vec{b}))

对括号内应用 BAC-CAB 法则：

\vec{d} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} (\vec{d} \cdot \vec{b}) - \vec{b} (\vec{d} \cdot \vec{a})

代入得

\begin{aligned} \vec{c} \cdot [\vec{a} (\vec{d} \cdot \vec{b}) - \vec{b} (\vec{d} \cdot \vec{a})] \\ = (\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d}) (\vec{b} \cdot \vec{c}) \end{aligned}

9. 叉乘模长

由拉格朗日恒等式令 $\vec{c} = \vec{a}, \vec{d} = \vec{b}$ ：

| \vec{a} \times \vec{b} |^{2} = (\vec{a} \cdot \vec{a}) (\vec{b} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} - (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}

再由 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩$ ，得

| \vec{a} \times \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} (1 - \cos^{2}) = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2} \sin^{2} ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩

开方即得 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩$ 。

叉乘的求导

设 $\vec{u} (t), \vec{v} (t)$ 是关于 $t$ 的可微向量函数， $\vec{a}$ 为常向量，则

常向量与变向量叉乘的求导

\frac{d}{d t} (\vec{a} \times \vec{u}) = \vec{a} \times \frac{d \vec{u}}{d t}

\frac{d}{d t} (\vec{u} \times \vec{a}) = \frac{d \vec{u}}{d t} \times \vec{a}

推导过程： 由导数的定义及叉乘对数的线性性（数乘结合律与分配律），

\frac{d}{d t} (\vec{a} \times \vec{u}) = lim_{Δ t \to 0} \frac{\vec{a} \times \vec{u} (t + Δ t) - \vec{a} \times \vec{u} (t)}{Δ t}

\begin{aligned} = lim_{Δ t \to 0} \frac{\vec{a} \times [\vec{u} (t + Δ t) - \vec{u} (t)]}{Δ t} \\ = \vec{a} \times lim_{Δ t \to 0} \frac{\vec{u} (t + Δ t) - \vec{u} (t)}{Δ t} \\ = \vec{a} \times \frac{d \vec{u}}{d t} \end{aligned}

第二条同理，注意常数向量在右边时求导结果中导数项在前（顺序不能交换）。

两个变向量叉乘的求导

\frac{d}{d t} (\vec{u} \times \vec{v}) = \frac{d \vec{u}}{d t} \times \vec{v} + \vec{u} \times \frac{d \vec{v}}{d t}

推导过程： 由导数定义

\frac{d}{d t} (\vec{u} \times \vec{v}) = lim_{Δ t \to 0} \frac{\vec{u} (t + Δ t) \times \vec{v} (t + Δ t) - \vec{u} (t) \times \vec{v} (t)}{Δ t}

分子中减去并加上交叉项 $\vec{u} (t) \times \vec{v} (t + Δ t)$ ：

= lim_{Δ t \to 0} \frac{\vec{u} (t + Δ t) \times \vec{v} (t + Δ t) - \vec{u} (t) \times \vec{v} (t + Δ t) + \vec{u} (t) \times \vec{v} (t + Δ t) - \vec{u} (t) \times \vec{v} (t)}{Δ t}

\begin{aligned} = lim_{Δ t \to 0} \frac{[\vec{u} (t + Δ t) - \vec{u} (t)] \times \vec{v} (t + Δ t)}{Δ t} \\ + lim_{Δ t \to 0} \frac{\vec{u} (t) \times [\vec{v} (t + Δ t) - \vec{v} (t)]}{Δ t} \end{aligned}

由 $\vec{v} (t + Δ t) \to \vec{v} (t)$ 的连续性及叉乘的连续性，得

\frac{d}{d t} (\vec{u} \times \vec{v}) = \frac{d \vec{u}}{d t} \times \vec{v} + \vec{u} \times \frac{d \vec{v}}{d t}

注意：由于叉乘不满足交换律（反交换），上式两项的顺序不可交换，否则会差一个负号。

叉乘 ​

常用公式 ​

公式总结 ​

推导过程 ​

叉乘的求导 ​

常向量与变向量叉乘的求导 ​